Question

【題目】已知拋物線，過的直線與拋物線相交于兩點.

（1）若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；

（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，直線的方程為；定值為

【解析】

（1）設，，直線的方程為，聯立直線的方程與拋物線的方程消元，然后韋達定理可得，，然后，用將表示出來即可.

（2）假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入，得，然后將表示出來即可.

（1）依題意，點的坐標為，可設，，

直線的方程為，與聯立得.

由韋達定理得：，，

于是，

所以當時，面積最小值，最小值為.

（2）假設滿足條件的直線存在，其方程為，

則以為直徑的圓的方程為，

將直線方程代入，得，

則.

設直線與以為直徑的圓的交點為，，

則，，于是有

.

當，即時，為定值.

故滿足條件的直線存在，其方程為.