Question

如圖，已知△ABD是等腰直角三角形，∠D=90°，BD=．現將△ABD沿斜邊的中線DC折起，使二面角A-DC-B為直二面角，E是線段AD的中點，F是線段AC上的一個動點（不包括A）．
（1）確定F的位置，使得平面ABD⊥平面BEF；
（2）當直線BD與直線EF所成的角為60°時，求證：平面ABD⊥平面BEF．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C為原點，分別以CB、CD、CA為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標系，根據•=0，可知AD⊥BE，根據面ABD與面BEF垂直的性質定理可知AD⊥面BEF，則AD⊥EF，即，即可得到F點與C點重合時滿足條件；
（2）根據=求出z，由F是線段AC上（不包括A、C）的點得z=0，從而F點與C點重合，則AD⊥EF，從而得到結論．
解答：證明：（1）由已知二面角A-DC-B為直二面角，又AC⊥CD，
∴AC⊥面BCD
在Rt△ACD中，CD=1，∠ADC=45°，
∴AC=1．
以C為原點，分別以CB、CD、CA為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標系，
則B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1）．
∵E為AD中點，
∴E（0，，），
∵，
∴AD⊥BE．
若面ABD⊥面BEF，則AD⊥面BEF，則AD⊥EF，即，
設F（0，0，z），則（0，1，-1）•（0，-，z-）=0，
∴（-）•1+（-1）•（z-）=0⇒z=0，
∴F點坐標為（0，0，0），即F點與C點重合時，平面ABD⊥平面BEF．
（2）由（1）知
=解得z=0或z=1，由F是線段AC上（不包括A、C）的點得z=0
∴F點坐標為（0，0，0），即F點與C點重合，
∴AD⊥EF，
又BC⊥AD
∴平面ABD⊥平面BEF
點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，平面與平面垂直的性質，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．