Question

如圖，四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．

(1)求證：BC⊥AD；
(2)試問該四面體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時棱長AD的大小；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）最大值為8，此時棱長AD＝2.

(1)證明：取BC的中點E，連結AE，DE，
∵△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
∵AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面AED，AD?平面AED，∴BC⊥AD.

(2)由已知得，△AED為等腰三角形，且AE＝ED＝2，
設AD＝x，F為棱AD的中點，
則EF＝ ，S_△AED＝，
V＝S_△AED·(BE＋CE)＝ (0＜x＜4)，
當x²＝24，即x＝2時，V_max＝8，
∴該四面體存在最大值，最大值為8，此時棱長AD＝2.