Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f（x）的極小值為-1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根據(jù)“函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d，∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱“得出奇偶性，再判斷b，d的值，再根據(jù)在x=

1

2

處的極值求出a，c．

解答：解：（I）因?yàn)閳D象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）為奇函數(shù)，所以b=0，d=0；
所以f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
由題意得，f′(

1

2

)=0，∴

3

4

a+c=0，
且f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1
解得 a=4，c=-3
所以f（x）=4x³-3x．

點(diǎn)評(píng)：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)奇偶性對(duì)應(yīng)的奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)的值以及偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)的值．為中等題，