Question

點(diǎn)H（-3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足
（1）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程
（2）過(guò)定點(diǎn)D（m，0）（m＞0）做直線l交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，E是D關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求證：∠AED=∠BED．
（3）在（2）中，是否存在垂直于x軸的直線被以AD為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)則可得，，，由代入整理可求
（2）要證明∠AED=∠BED，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，只要證K_AE=-K_BE即可
（3）假設(shè)存在滿足條件的直線，根據(jù)垂徑定理得性質(zhì)可知，要使正弦長(zhǎng)為定值，則只要圓心到直線的距離為定值即可
解答：解：（1）設(shè)
則可得，，
∴
所以：y²=4x
（2）當(dāng)AB垂直x軸時(shí)，A、B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以∠AED=∠BED
當(dāng)AB存在斜率時(shí)，設(shè)直線AB：y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）


所以k_AE=-k_BE
所以∠AED=∠BED
（3）假設(shè)存在垂直x軸的直線x=n，弦長(zhǎng)為d
則
當(dāng)m=1時(shí)不存在
當(dāng)m＞0且m≠1時(shí)，存在直線x=m-1
點(diǎn)評(píng)：本題以向量得數(shù)量積得坐標(biāo)表示為載體考查了圓錐曲線得求解及直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系得求解．屬于綜合試題．