Question

如圖，已知橢圓C：的長軸AB長為4，離心率，O為坐標原點，過B的直線l與x軸垂直．P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）證明Q點在以AB為直徑的圓O上；
（3）試判斷直線QN與圓O的位置關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設可得，由此能導出橢圓C的方程．
（2）設P（x，y），則．由HP=PQ，知Q（x，2y）．．所以Q點在以AB為直徑的圓O上．
（3）設P（x，y）（x≠±2），則Q（x，2y），且．所以直線AQ的方程為．令x=2，得．又B（2，0），N為MB的中點，所以，，．由此能導出直線QN與圓O相切．
解答：解：（1）由題設可得，
解得，∴b=1．
∴橢圓C的方程為．
（2）設P（x，y），則．
∵HP=PQ，∴Q（x，2y）．∴．
∴Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上．即Q點在以AB為直徑的圓O上．
（3）設P（x，y）（x≠±2），則Q（x，2y），且．
又A（-2，0），∴直線AQ的方程為．
令x=2，得．又B（2，0），N為MB的中點，∴．
∴，．
∴=x（x-2）+x（2-x）=0．
∴．∴直線QN與圓O相切．
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．