Question

設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1-1=ca_n-c（n∈N*），其中a，c為實數，且c≠0，
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設a=0，b_n=n（1-a_n）（n∈N*），求數列{b_n}的前n項和S_n。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴當a₁=a≠1時，{a_n-1}是首項為a-1，公比為c的等比數列，
∴，即，
當a=1時，a_n=1仍滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式為。
（Ⅱ）由（Ⅰ），得當a=0時，，
當c=1時，b_n=n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2+3+…+n；
當c≠1時，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2×c+3×c²+...+n×，①
由c×①，得cS_n=c+2c²+3c³+…+ncⁿ， ②
由①②兩式作差，得（1-c）S_n=1+c+c²+…+，
∴。