Question

已知下列4個命題：
①若f（x）為減函數，則-f（x）為增函數；
②若f（x）為增函數，則函數g(x)=

1

f(x)

在其定義域內為減函數；
③若函數f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函數，則a的取值范圍是1＜m＜2；
④函數f（x），g（x）在區間[-a，a]（a＞0）上都是奇函數，則f（x）•g（x）在區間[-a，a]（a＞0）是偶函數．
其中正確命題的序號是

①，④

．

Answer 1

分析：①②可以運用減函數定義證明；
③是分段函數，需要保證兩段都是增的，同時需要上一段的最小值大于下一段的最大值；
④運用函數奇偶性的定義證明．

解答：解：①因為f（x）為減函數，則對其定義域內的任意x₁，x₂，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）＞f（x₂），
令g（x）=-f（x），則g（x₁）-g（x₂）=-f（x₁）-[-f（x₂）]=f（x₂）-f（x₁）＜0，所以-f（x₁）＜-f（x₂），所以-f（x）為增函數，所以①正確；
②因為f（x）為增函數，則對其定義域內的任意x₁，x₂，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）＜f（x₂），
則g（x₁）-g（x₂）=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

，因為f（x₁）＜f（x₂），所以f（x₂）-f（x₁）＞0，
當f（x₁）與f（x₂）同號時

1

f(x1)

-

1

f(x2)

＞0，g（x₁）＞g（x₂），函數為減函數，反之，函數為增函數，所以②不正確；
③f(x)=

(2-m)+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)x+m-1(x≥1)

因為函數f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函數，
所以

2-m＞0 m-1＞0 2-m+2m≤m-1+m-1

解得：m∈∅，所以③不正確；
④函數f（x），g（x）在區間[-a，a]（a＞0）上都是奇函數，則f（-x）•g（-x）=-f（x）•[-g（x）]=f（x）•g（x），
所以f（x）•g（x）在區間[-a，a]（a＞0）是偶函數．
所以④正確．
故答案為①④．

點評：本題考查了命題真假的判斷，考查了判斷函數單調性和奇偶性的方法，結論是：函數f（x）與-f（x）在相同區間上單調性相反，在相同定義域內，兩個奇函數的乘積為偶函數．