Question

已知點，一動圓過點且與圓內切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設點，點為曲線上任一點，求點到點距離的最大值；

（Ⅲ）在的條件下，設△的面積為（是坐標原點，是曲線上橫坐標為的點），以為邊長的正方形的面積為．若正數滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設圓心坐標為，則動圓的半徑為，

    又動圓與內切，所以有

       化簡得

    所以動圓圓心軌跡C的方程為．………………………………4分

（Ⅱ）設，則

  ，令，，所以，

    當，即時在上是減函數，；

    當，即時，在上是增函數，

    在上是減函數，則；

    當，即時，在上是增函數，．

    所以， ．…………………………………………9分

（Ⅲ）當時,,于是,,

    若正數滿足條件，則，即，

       ，令，

    設，則，，

    于是，

    所以，當，即時，，

    即，．所以，存在最小值．………………………………14分