Question

如圖,在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,AC=BC,D為AB的中點,平面A₁B₁C₁⊥平面ABB₁A₁,異面直線BC₁與AB₁相互垂直.

(1)求證AB₁⊥平面A₁CD;

(2)若CC₁與平面ABB₁A₁的距離為1，A₁C=,AB₁=5，求三棱錐A₁-ACD的體積.

Answer 1

（1）證明：取A₁B₁的中點D₁，連結C₁D₁、BD₁，

∴AC=BC，

∴A₁C₁=B₁C₁.

又C₁D₁⊥A₁B₁，平面A₁B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，

∴C₁D₁⊥平面ABB₁A₁.∴BD₁是BC₁在平面ABB₁A₁內的射影，BC₁⊥AB₁，所以AB₁⊥BD₁.又BD₁∥A₁D，∴AB₁⊥A₁D.

CD⊥平面A₁B₁BA，

從而CD⊥AB₁.

∴AB₁⊥平面A₁CD.

（2）解析：由（1）知CD是CC₁與平面ABB₁A₁的距離，

∴CD=1.

在Rt△A₁CD中，A₁C=,CD=1,

∴A₁D==6.

設A₁D∩AB₁=E,由△AED∽△B₁EA₁,得

=,∴AE=AB₁=,

=A₁D·AE=×6×=5.

·CD=×5×1=.