Question

在直角坐標系xOy中，點M到點F₁(-

3

，0)、F₂(

3

，0)的距離之和是4，點M的軌跡是C，直線l：y=kx+

2

與軌跡C交于不同的兩點P和Q．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）是否存在常數k，使

OP

•

OQ

=0？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）M的軌跡C是長軸長為4，焦點在x軸上焦距為2

3

的橢圓，由此可求出軌跡C的方程．
（Ⅱ）將y=kx+

2

，代入曲線C的方程，整理得(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0．然后利用根與系數的關系求出k的值．

解答：解：（Ⅰ）∵點M到(-

3

，0)，(

3

，0)的距離之和是4，
∴M的軌跡C是長軸長為4，焦點在x軸上焦距為2

3

的橢圓，其方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）將y=kx+

2

，代入曲線C的方程，
整理得(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0．①
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由方程①，得x1+x2=-

8 2 k

1+4k2

，x1x2=

4

1+4k2

．②
又y1•y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=k2x1x2+

2

k(x1+x2)+2．③
若

OP

•

OQ

=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
將②、③代入上式，解得k=±

6

2

．
又因k的取值應滿足△＞0，即4k²-1＞0（*），
將k=±

6

2

代入（*）式知符合題意．

點評：本題考查橢圓的軌跡方程和直線與橢圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細作答．