Question

14．若關于x的不等式x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ，當x∈（-∞，λ]時對任意n∈N^*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 關于x的不等式x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ，當x∈（-∞，λ]時對任意n∈N^*恒成立，等價于x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ_max對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，由此求出λ的取值范圍

解答 解：關于x的不等式x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ，當x∈（-∞，λ]時對任意n∈N^*恒成立，
等價于x²+$\frac{1}{2}$x≥（$\frac{1}{2}$）ⁿ_max對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]恒成立，
即x²+$\frac{1}{2}$x≥$\frac{1}{2}$對 x∈（-∞，λ]恒成立；
設y=x²+$\frac{1}{2}$x，它的圖象是開口向上，對稱軸為x=-$\frac{1}{4}$的拋物線，
所以當x≤-$\frac{1}{4}$時，左邊是單調(diào)減函數(shù)，所以要使不等式恒成立，則λ²+$\frac{1}{2}$λ≥$\frac{1}{2}$，
解得λ≤-1，或λ≥$\frac{1}{2}$（舍）；
當x＞-$\frac{1}{4}$時，左邊的最小值就是在x=-$\frac{1}{4}$時取到，
達到最小值時，x²+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{16}$，不滿足不等式．
因此λ的范圍就是 λ≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題考查了函數(shù)恒成立的應用問題，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，是綜合性題目．