Question

(本小題14分) 已知函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數，且x=-1時，函數取極值1。

（1）求a，b，c的值；

（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤2；

（3）求證：曲線y=f（x）上不存在兩個不同的點A，B，使過A， B兩點的切線都垂直于直線AB。

 

Answer 1

【答案】

（1），b=0

（2）因為，那么可以運用函數單調性放縮來得到解決問題。

（3）對于探索性試題的分析，假設存在，然后根據過A，B兩點的切線平行，得到斜率相等，同時根據過A，B兩點的切線都垂直于直線AB

，則斜率之積為-1，得到方程，通過方程無解說明假設不成立，進而得到證明。

【解析】

試題分析：（1）函數是定義在R上的奇函數，

∴即對于恒成立，

∴b=0

∴

∵x=-1時，函數取極值1，∴3a+c=0，-a-c=1

解得：

（2）

＜0，∴

（3）設

∵過A，B兩點的切線平行，

∴可得

∵，∴，則

由于過A點的切線垂直于直線AB，

∴

∴∵△=-12＜0

∴關于x₁的方程無解。

∴曲線上不存在兩個不同的點A，B，過A，B兩點的切線都垂直于直線AB

考點：本試題考查了導數的運用。

點評：運用導數研究函數的問題主要涉及到了函數的單調性和函數的極值以及最值問題，那么同時要熟練的掌握導數的幾何意義表示切線方程。而對于不等式的恒成立問題，一般將其轉換為分離參數的思想來求解不等式的成立，主要是通過最值來完成證明，屬于中檔題。