Question

如圖，已知A₁B₁C₁—ABC是正三棱柱，D是AC中點.

（Ⅰ）證明：AB₁∥平面DBC₁；

（Ⅱ）（理）假設AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱的DBC₁與CBC₁為面的二面角α的度數.

（文）假設AB₁⊥BC₁，BC＝2，求線段AB₁在側面B₁BCC₁上的射影長.

Answer 1

答案：
解析：

如圖，（Ⅰ）證明：因為A1B1C1—ABC是三棱柱，所以四邊形B1BCC1是矩形，連B1C與BC1交于E，則E為B1C的中點，連DE，D是AC的中點，所以ED∥AB1，又ED平面BDC1，AB1平面BDC1，所以AB1∥平面BDC1. （Ⅱ）解：（理）由已知平面ABC⊥平面BB1C1C，在平面ABC內作DF⊥BC，F為垂足，則DF⊥平面B1BCC1，連EF，EF為ED在平面B1BCC1上的射影. 由已知AB1⊥BC1，ED∥AB1，所以ED⊥BC1，由三垂線定理的逆定理知BC1⊥FE，所以∠DEF是二面角D—BC1—C的平面角，設AC＝1，則CD＝，DF＝DCsin60°＝，CF＝DCcos60°＝，BF＝，取BC的中點G，則GF＝，在Rt△BEF中，EF2＝BF·GF＝·＝，EF＝，tanDEF＝＝1，∠DEF＝45°，故以BC1為棱、DBC1與CBC1為面的二面角α的度數為45°. （文）作AF⊥BC，垂足為F.因為面ABC⊥面B1BCC1，所以AF⊥面B1BCC1.連B1F，則B1F是AB1在平面B1BCC1內的射影. ∵BC1⊥AB1  ∴BC1⊥B1F  ∵四邊形B1BCC1是矩形 ∴∠B1BF＝∠BCC1＝90°，又∠FB1B＝∠C1BC ∴△B1BF∽△BCC1 ∴．又F為正三角形ABC的BC邊的中點. 因而B1B2＝BF·BC＝1×2＝2  于是B1F2＝B1B2＋BF2＝3 ∴B1F＝ 即線段AB1在平面B1BCC1內的射影長為.