Question

已知正數a，b，c成等差數列，且公差d≠0，求證：

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能是等差數列．

Answer 1

分析：本題考查等差數列的證明、反證法的證題方法，由“不可能成等差數列”自然想到反證法，先假設數列

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數列，在此基礎上進行推理，由推理結果矛盾使問題得證．

解答：證明（反證法）：假設

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數列，
則

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，即

a-b

ab

=

b-c

cb

兩邊乘以b，得

a-b

a

=

b-c

c

又∵a，b，c成等差數列，且公差不為零，
∴a-b=b-c≠0．由以上兩式，可知

1

a

=

1

c

．．
兩邊都乘以ac，得a=c．
這與已知數列a，b，c的公差不為零，a≠c相矛盾，
所以數列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差數列

點評：反證法是一種間接證法，一般地由證明轉向證明與假設矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定為假，推出為真的方法叫做反證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法．用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設；（2）歸謬；（3）結論．