Question

已知函數f（x）=alnx+

b

x

（a，b≠0，a，b∈R）
（1）當b=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當b=a²時，若存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：函數f（x）=alnx+

b

x

的定義域為（0，+∞），
（1）當b=1時，f（x）=alnx+

1

x

；求導f′（x）=

a

x

-

1

x2

=

ax-1

x2

；從而討論確定導數的正負以確定函數的單調性；
（2）當b=a²時，f（x）=alnx+

a2

x

；求導f′（x）=

a(x-a)

x2

，討論確定導數的正負以確定函數的單調性，從而化存在性問題為最值問題．

解答： 解：函數f（x）=alnx+

b

x

的定義域為（0，+∞），
（1）當b=1時，f（x）=alnx+

1

x

；
f′（x）=

a

x

-

1

x2

=

ax-1

x2

；
故當a＜0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；
故函數f（x）在（0，+∞）上是減函數，
當a＞0，當x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＜0；
當x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，

1

a

）上是減函數，在（

1

a

，+∞）上是增函數；
（2）當b=a²時，f（x）=alnx+

a2

x

；
f′（x）=

a(x-a)

x2

，
當a＜0時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e]上是減函數，
故存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立可化為
f（e）=a+

a2

e

＜0；
故-e＜a＜0；
當a＞0，f（x）在（0，a）上是減函數，在（a，+∞）上是增函數；
故當0＜a＜e時，存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立可化為
f（a）=alna+a＜0，故0＜a＜

1

e

；
當a≥e時，存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立可化為
f（e）=a+

a2

e

＜0，無解；
故實數a的取值范圍為（-e，0）∪（0，

1

e

）．

點評：本題考查了導數的綜合應用及存在性問題化為最值問題的處理方法應用，屬于中檔題．