Question

18．平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}=4$，點P在邊CD上，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值是8．

Answer 1

分析 先根據向量的數量積的運算，求出A=60°，再建立坐標系，得到$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x（x-4）+3=x²-4x+3=（x-2）²-1，構造函數f（x），利用函數的單調性求出函數的值域m，問題得以解決．

解答 解：∵平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}=4$，點P在邊CD上，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠A=4，∴cosA=$\frac{1}{2}$，∴A=60°，
以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂線為y軸，
建立如圖所示的坐標系，∴A（0，0），B（4，0），D（1，$\sqrt{3}$），
設P（x，$\sqrt{3}$），則1≤x≤5，∴$\overrightarrow{PA}$=（-x，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（4-x，-$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x（x-4）+3=x²-4x+3=（x-2）²-1，
設f（x）=（x-2）²-1，則f（x）在[1，2）上單調遞減，在[2，5]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（2）=-1，f（x）_max=f（5）=8，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$ 的取值范圍是[-1，8]，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值是8，
故答案為：8．

點評 本題考查了向量的數量積運算和向量的坐標的數量積和函數的最值問題，關鍵是建立坐標系，屬于中檔題．