Question

設(shè)橢圓的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率，點F₂到右準線為l的距離為
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）設(shè)M，N是l上的兩個動點，，
證明：當|MN|取最小值時，．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，進而根據(jù)F₂到右準線為l的距離求得a和c的另一關(guān)系式，聯(lián)立求得a和c，進而根據(jù)a，b和c的關(guān)系氣的b．
（Ⅱ）根據(jù)（1）中的橢圓方程求得可知橢圓的焦點坐標，則l的方程可得，設(shè)出M，N的坐標，根據(jù)求得得y₁y₂的值，代入到|MN|的表達式中，根據(jù)均值不等式求得|MN|的最小值，根據(jù)等號成立的條件求得y₁和y₂的值，進而求得，證明原式．
解答：解：（Ⅰ）因為，F(xiàn)₂到l的距離，所以由題設(shè)得解得
由b²=a²-c²=2，得
（Ⅱ）由得，l的方程為
故可設(shè)
由知知
得y₁y₂=-6，所以
當且僅當時，上式取等號，此時y₂=-y₁
所以，=（0，y₁+y₂）=
點評：此題重點考查橢圓基本量間的關(guān)系，進而求橢圓待定常數(shù)，考查向量與橢圓的綜合應(yīng)用；要熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，熟練進行向量的坐標運算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的應(yīng)靈活應(yīng)用．