Question

已知函數y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，|φ|＜π，b為常數）的一段圖象（如圖）所示．
（1）求函數的解析式；
（2）求這個函數的單調區間．

Answer 1

分析：（1）圖象中給出了半個周期的完整圖象，故可得

T

2

=

π

2

-(-

π

3

)=

5π

6

．解出周期T，由公式求ω，又最高點與最低點的縱坐標的差為3，可得|A|=

3

2

進而求出A，b，到此函數解析式可以表示為y=

3

2

sin(

6

5

x+φ)+

3

2

，將點(

π

2

，0)代入y=

3

2

sin(

6

5

x+φ)+

3

2

求φ
（2）根據正弦函數的單調性，令相位屬于[2kπ-

π

2

， 2kπ+

π

2

]，k∈z求函數的增區間，令相位屬于[2kπ+

π

2

， 2kπ+

3π

2

]，k∈z求函數的減區間．

解答：解：（1）由已知，如圖
A=

1

2

(ymax-ymin)=

3

2

，

T

2

=

π

ω

=

π

2

-(-

π

3

)=

5π

6

，ω=

6

5

．易知b=

3

2

∴y=

3

2

sin(

6

5

x+φ)+

3

2

，
將點(

π

2

，0)代入y=

3

2

sin(

6

5

x+φ)+

3

2

得sin(

3π

5

+φ)=-1
即

3π

5

+φ=2kπ-

π

2

，k∈z解得φ=2kπ-

11π

10

(k∈Z)
又|φ|＜π，當k=1時，φ=

9π

10

＜π
∴y=

3

2

sin(

6

5

x+

9π

10

)+

3

2

．
（2）令2kπ-

π

2

≤

6

5

x+

9π

10

≤2kπ+

π

2

得

5kπ

3

-

7π

6

≤x≤

5kπ

3

-

π

3

令2kπ+

π

2

≤

6

5

x+

9π

10

≤2kπ+

3π

2

得

5kπ

3

-

π

3

≤x≤

5kπ

3

+

π

2

．(k∈Z)
∴[

5kπ

3

-

7π

6

，

5kπ

3

-

π

3

](k∈Z)是單調遞增區間，
  [

5kπ

3

-

π

3

，

5kπ

3

+

π

2

](k∈Z)．是單調遞減區間．

點評：本題考點是三角函數的圖象與性質，考查知道了三角函數圖象上的特征求三角函數的解析式，以及根據三角函數的解析式求三角函數的單調區間，是三角函數的圖象與性質中常規題型．