Question

某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．
方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；
方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過．
假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．
（Ⅰ）分別求該應聘者用方案一和方案二時考試通過的概率；
（Ⅱ）試比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小．（說明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）設三門考試課程考試通過的事件分別為A，B，C，方案一即可表示為AB+AC+BC+ABC，方案二，先考慮隨機選取兩門的概率為，后再計算這兩門都及格的概率；
（2）為了比較該應聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，可考慮這兩個概率的差值與0比較即可．
解答：解：設三門考試課程考試通過的事件分別為A，B，C，相應的概率為a，b，c
（1）考試三門課程，至少有兩門及格的事件可表示為AB+AC+BC+ABC，設其概率為
P₁，則P₁=ab（1-c）+a（1-b）c+（1-a）bc+abc=ab+ac+bc-2abc
設在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格的概率為P₂，
則P₂=ab+ac+bc
（2）P₁-P₂=（ab+ac+bc-2abc）-（ab+ac+bc）=ab+ac+bc-2abc
=（ab+ac+bc-3abc）
=〔ab（1-c）+ac（1-b）+bc（1-a）〕＞0
∴P₁＞P₂即用方案一的概率大于用方案二的概率．
點評：本題考查相互獨立事件的概率乘法公式，如果A、B相互獨立事件，則它的概率乘法公式P（AB）=P（A）P（B）．