Question

已知函數f（x）=x-（1+a）lnx在x=1時，存在極值．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）證明：當x＞1時，

f(x)-1

x-1

＜

1

2

lnx．

Answer 1

分析：（I）對函數求導數，得f'（x）=1-

1+a

x

，根據函數在極值點處導數值為零列式，解之得a=0；
（II）原不等式等價于（x+1）lnx-2x+2＞0．因此構造函數F（x）=（x+1）lnx-2x+2，通過研究F'（x）的單調性，得到F'（x）是（1，+∞）上的增函數，從而得到F'（x）＞F'（1）=0在區間（1，+∞）上恒成立，得F（x）是（1，+∞）上的增函數，得F（x）＞F（1）=0，從而證出原不等式成立．

解答：解：（I）對函數求導數，得f'（x）=1-

1+a

x

∵在x=1時，函數存在極值．
∴f'（1）=1-

1+a

1

=-a=0，可得a=0；
（II）當x＞1時，，

f(x)-1

x-1

＜

1

2

lnx等價于（x+1）lnx-2x+2＞0…（*）
設F（x）=（x+1）lnx-2x+2，得F'（x）=

1

x

+lnx-1
再設G（x）=

1

x

+lnx-1，得G'（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

∵x＞1，∴G'（x）=

x-1

x2

＞0，得G（x）是（1，+∞）上的增函數
因此G（x）＞G（1）=0，即F'（x）＞0區間（1，+∞）上恒成立
∴F（x）=（x+1）lnx-2x+2是（1，+∞）上的增函數，得F（x）＞F（1）=0
因此，不等式（*）在區間（1，+∞）上恒成立，即當x＞1時，

f(x)-1

x-1

＜

1

2

lnx恒成立．

點評：本題給出含有對數的函數，在已知極值的情況下求參數a的值，并證明一個恒成立的不等式，著重考查了利用導數研究函數的單調性和不等式恒成立的證明等知識，屬于中檔題．