Question

已知雙曲線

y2

a2

-

x2

9

=1的兩條漸近線與以橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的左焦點為圓心、半徑為

16

5

的圓相切，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  5

  4

• B．

  5

  3

• C．

  4

  3

• D．

  6

  5

Answer 1

分析：由題意分別求出雙曲線的漸近線方程和橢圓的左焦點坐標，利用點到直線的距離公式求出雙曲線的實半軸長，進一步求出其半焦距，則答案可求．

解答：解：由雙曲線

y2

a2

-

x2

9

=1，得其漸近線方程為y=±

3

a

x．即3x±ay=0．
由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，得c²=a²-b²=16，所以c=4．
則橢圓的左焦點為F₁（-4，0）．
又雙曲線

y2

a2

-

x2

9

=1的兩條漸近線與以橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的左焦點為圓心、半徑為

16

5

的圓相切．
所以

|-12|

9+a2

=

16

5

，解得a=

9

4

．
所以雙曲線的半焦距為

81 16 +9

=

15

4

．
所以雙曲線的離心率e=

15 4

9 4

=

5

3

．
故選B．

點評：本題考查了雙曲線和橢圓的簡單幾何性質，考查了點到直線的距離公式，考查了學生的計算能力，是中檔題．