Question

底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a，PA⊥平面ABCD，點E在PD上，且=2．

(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大小；

(Ⅱ)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC，若存在，確定點F的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)作EM⊥AD于M，∵PA⊥面ABCD．

∴面PAD⊥面ABCD

作MN⊥AC于N，連接NE，則NE⊥AC，

∴∠ENM為二面角E-AC-D的平面角，

∵EM=PA=a,AM=a，

∴MN=AM·sin60°=．

∴tanENM=．

∴二面角E-AC-D的大小為30°．

(Ⅱ)取PC中點F，PE中點Q，連接FQ、BF、BQ，

設AC∩BD=O，連OE，

則OE∥BQ，QF∥CE，∴平面BQF∥平面ACE，

∴在棱PC上存在中點F，使BF∥平面AEC．

解法二：(1)建立如圖所示空間直角坐標系，則A(0，0，0)，

B(a，a,0),D(0，a，0)，C(a，a,0)，P(0，0，a)，E(0，a，a),

∴=(0，a，a)，=(a，a,0)，

設平面ACE的一個法向量為n=(x,y,z),

則可得n=(,1)，

而平面ACD的法向量為n₁==(0,0,a),

∴cos＜n·n₁＞=,

∴二面角E-AC-D的大小為30°.

(Ⅱ)由(Ⅰ)=(a，a,-a),

設F為PC上一點，且=.

又=(a，a,a)

∴=(a(λ-1)，(1+λ)a,a(1-λ)）．

∴,

∴=λ₁(a，a，0)+λ₂(0，a，a)，

則解得

∴當λ=時，=+，

∴與共面，此時F為BC中點,

又BF平面ACE，∴BF∥平面ACE．

解法三：（Ⅱ）取PC中點F，由

=

=

=.

∴BF與AE共面, 又BF平面ACF，∴BF∥平面ACE．