Question

若F是雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的一個焦點，P₁、P₂、P₃、P₄是雙曲線上同一支上任意4個不同的點，且

FP1

+

FP2

+

FP3

+

FP4

=

0

，則|

FP1

|+|

FP2

|+|

FP3

|+

|FP4

|=

6

．

Answer 1

分析：不妨設F是雙曲線的左焦點，則F（-

7

，0），根據

FP1

+

FP2

+

FP3

+

FP4

=

0

，用坐標表示向量，再利用雙曲線的第二定義求出焦半徑，即可得出結論．

解答：解：不妨設F是雙曲線的左焦點，則F（-

7

，0）
設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），
∵

FP1

+

FP2

+

FP3

+

FP4

=

0

，
∴（（x₁+

7

，y₁）+（（x₂+

7

，y₂）+（（x₃+

7

，y₃）+（x₄+

7

，y₄）=（0，0）
∴x₁+x₂+x₃+x₄=-4

7

∵|

FP1

|=-2-

7

2

x1，|

FP2

|=-2-

7

2

x2，|

FP3

|=-2-

7

2

x3，|

FP4

|=-2-

7

2

x4
∴|

FP1

|+|

FP2

|+|

FP3

|+

|FP4

|=-8-

7

2

（x₁+x₂+x₃+x₄）=-8-

7

2

×(-4

7

)=6
故答案為：6．

點評：本題重點考查雙曲線的第二定義，考查向量知識的運用，解題的關鍵是用坐標表示向量，屬于中檔題．