Question

已知橢圓C₁的中心和拋物線C₂的頂點都在原點，且兩曲線的焦點均在x軸上，若A（1，2），B（2，0），中有兩點在橢圓C₁上，另一點在拋物線C₂上．
（I）求橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（II）設直線l與橢圓C₁交于M，N兩點，與拋物線C₂交于P，Q兩點．問是否存在直線l使得以線段MN為直徑的圓和以線段PQ為直徑的圓都過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）拋物線方程為y²=2px，橢圓方程為，根據拋物線頂點在原點斷定B點必不在拋物線上，進而可把B代入橢圓方程求得a；把A和C點分別代入橢圓方程求得b（注意驗證b是否符合），進而通過另一個點求得p，答案可得．
（II）設直線l：x=my+n，將x=my+n代入橢圓方程消去x后，根據△＞0得出m和n的關系式，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由OM⊥ON得，x₁x₂+y_!y₂=0，進而得到m和n的另一個關系式，將代入x=my+n根據△＞0得m²+n＞0再由OP⊥OQ得得n²-4n=0聯立方程求得m和n，最后經驗證m和n都符合題意，進而可得結論．
解答：解：（I）設拋物線方程為y²=2px，橢圓方程為
∵拋物線頂點在原點
∴B點不可能在拋物線上，則在橢圓上代入橢圓方程得
，解得a=2
如果c點在橢圓上，代入橢圓方程得，解得b=1符合題意
則橢圓的方程為
∴點A必在拋物線上，代入拋物線方程得2p=4
∴p=2
∴拋物線方程為：y²=4x．

（II）若存在直線l使得以線段MN為直徑的圓和以PQ為直徑的圓都過原點，
設直線l：x=my+n，將x=my+n代入橢圓，并整理得，（m²+4）y²+2mny+n²-4=0，
△₁=4m²n²-4（m²+4）（n²-4）＞0，即m²-n²+4＞0；=1 ①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，
由OM⊥ON得，x₁x₂+y_!y₂=0，即（m²+1）y_!y₂+mn（y₁+y₂）+n²=0，
∴，得5n²-4m²-4=0；②
將代入x=my+n，得，△₂=m²+n＞0，③
設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則y₃+y₄=4m，y₃y₄=-4n，
由OP⊥OQ得，x₃x₄+y₃y₄=0，即（m²+1）y₃y₄+mn（y₃+y₄）+n²=0，
∴（m²+1）（-4n）+mn•4m+n²=0，得n²-4n=0；
顯然n≠0，∴n=4，代入②得：；
經檢驗，n=4都適合 ①③式．
所以存在直線使得以線段MN為直徑和以PQ為直徑的圓都過原點．
點評：本題主要考查直線、橢圓和拋物線等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想和化歸與轉化思想等