Question

已知數列{a_n}是等差數列，其前n項和為S_n，a₃=7，S₄=24．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設p、q是正整數，且p≠q，證明：Sp+q＜

1

2

(S2p+S2q)．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式化簡a₃=7，S₄=24，分別得到關于首項和公差的兩個方程，聯立即可求出首項和公差的值，利用首項和公差寫出等差數列的通項公式；
（2）分別利用求得等差數列的前n項和的公式表示出S_p+q和S_2p及S_2q，然后利用做差法即可比較出S_p+q和

1

2

(S2p+S2q)的大小．

解答：解：（1）設首項和公差分別為a₁，d
由

a3=7 S4=24

得

a1+2d=7 4a1+6d=24

所以

a1=3 d=2

，則a_n=2n+1；
（2）2S_p+q-（S_2p+S_2q）=2（p+q）²+4（p+q）-4p²-4p-4q²-4q
=-2（p-q）²≤0
所以 Sp+q≤

1

2

(S2p+S2q)．

點評：本題以等差數列為載體，考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，會利用做差法比較兩個式子的大小，是一道中檔題．