Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）圖象在函數(shù)g（x）=x³圖象的下方；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（x）=f′（x），求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)題意：易知y=lnx與y=的交點(diǎn)為A（α，），
y=e^x與y=的交點(diǎn)為B（β，）；由K_AB=-1，易知α•β=2009（4分）

（Ⅱ）設(shè)F（x）=x²+lnx-x³，則F′（x）=x+-2x²=
∵x＞1，F(xiàn)′（x）＜0∴F（x）在區(qū)間（1，+∝）上是減函數(shù)又∵F（1）=-＜0
∴x²+lnx-x³＜0，即x²+lnx＜x³，x∈（1，+∞）
∴在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）圖象在函數(shù)g（x）=x³圖象的下方（9分）

（Ⅲ）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=x++2，右邊=x++2，不等式成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+）ⁿ-（xⁿ+）
=[C_n¹（x^n-2+）+C_n²（x^n-4+）+…+C_n^n-1（+x^n-2）]
由已知，x＞0
∴[h（x）]ⁿ-ln（xⁿ）≥C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2
∴[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．（15分）
分析：（Ⅰ）將“方程xf（x）-x³=2009的根”轉(zhuǎn)化為：“函數(shù)y=lnx與y=”的交點(diǎn)，將“方程xe^x=2009的根”轉(zhuǎn)化為：“函數(shù)y=e^x與y=”的交點(diǎn)；最由K_AB=-1，求得α•β
（Ⅱ）構(gòu)造“函數(shù)F（x）=x²+lnx-x^3”，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：“F（x）≤0恒成立”，再用導(dǎo)數(shù)法，研究其單調(diào)性，求得其最大值即可．
（Ⅲ）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=x++2，右邊=x++2，不等式成立；當(dāng)n≥2時(shí)，由[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+）ⁿ-（xⁿ+）
=[C_n¹（x^n-2+）+C_n²（x^n-4+）+…+C_n^n-1（+x^n-2）]作差比較．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)，不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，比較法證明不等式等．