Question

已知函數是函數的極值點，其中
是自然對數的底數．
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）直線同時滿足：
① 是函數的圖象在點處的切線，
② 與函數的圖象相切于點．
求實數b的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）a =1（Ⅱ）①②

(1)根據建立關于a的方程，解出a值；
（2）根據條件（1）可確定l:
根據條件(2) 直線與函數的圖象相切于點，
,切線的方程為
即的方程為：
然后根據兩個方程為同解方程可得到方程組
然后轉化為,利用導數確定其值域即可.
解：（Ⅰ）
……………2分
由已知，
得a ="1" ………4分
（Ⅱ）時，

函數的圖象在點處的切線的方程為：……6分
直線與函數的圖象相切于點，

又，所以切線的斜率為
故切線的方程為
即的方程為： ……………………8分               
得 …………………10分

所以實數b的取值范圍是……………………………………………15分