Question

已知雙曲線C的方程為x²﹣=1，點(diǎn)A（m，2m）和點(diǎn)B（n，﹣2n）（其中m和n均為正數(shù)）是雙曲線C的兩條漸近線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，雙曲線C上的點(diǎn)P滿足=λ（其中λ∈[，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由已知，點(diǎn)A（m，2m）和點(diǎn)B（n，﹣2n），設(shè)P（x，y）
由=λ，得
，
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入x²﹣=1，化簡(jiǎn)得，mn=．
（2）設(shè)∠AOB=2θ，則tanθ=2，所以sin2θ=．
又|OA|=m，|OB|=，
所以S_△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn==，
記S（λ）=，λ∈[，3]）．
則S（λ）在λ∈[，3]）上是減函數(shù)，在λ∈[1，3]上是增函數(shù)．
所以，當(dāng)λ=1時(shí)，S（λ）取最小值2，當(dāng)λ=3時(shí)，S（λ）取最大值．
所以△AOB面積的取值范圍是[2，]．