Question

設{a_n}是正數組成的數列，其前n項的和為S_n，并且對于所有的自然數n，存在正數t，使a_n與t的等差中項等于S_n與t的等比中項．
（1）求 {a_n}的通項公式；
（2）若n=3時，S_n-2t•a_n取得最小值，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據a_n與t的等差中項等于S_n與t的等比中項建立等式關系，然后根據遞推關系可得{a_n}是以t為首項，2t為公差的等差數列，從而求出通項公式；
（2）求出S_n，根據n=3時，S_n-2t•a_n取得最小值可設f（x）=tx²-4t²x+2t²，當x取3 時有最大值，可得對稱軸的范圍，從而求出t的取值范圍．

解答：解：（1）由題意：

t+an

2

=

tSn

即2

tSn

=t+an
當n=1時，2

ta1

=t+a1=t+a1，∴(

a1

-

t

)2=0，a1=t…..（3分）
當n≥2時，2

tSn

=t+an∴4tSn=t2+2tan+an2①4tS_n-1=t²+2ta_n-1+a_n-1²②
①-②得4ta_n=2ta_n-2ta_n-1+（a_n²-a_n-1²）2t（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=2t∴{a_n}是以t為首項，2t為公差的等差數列，a_n=（2n-1）t…．（8分）
（2）∴S_n=tn²，an+t=2

tSn

=2nt，∴a_n=（2n-1）tS_n-2t•a_n=tn²-（2n-1）•2t²=tn²-4t²n+2t²，
設f（x）=tx²-4t²x+2t²，∵當x取3 時有最大值，對稱軸

4t2

2t

=2t∈[

5

2

，

7

2

]∴t∈[

5

4

，

7

4

]…（12分）

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式，以及函數特性，同時考查了計算能力，屬于中檔題．