Question

某生態園要對一塊邊長為1km的正方形區域ABCD進行規劃，設計了如圖所示的三條參觀路線．具體設計方案如下：從A出發到達BC邊上的P點，然后從P點出發到達CD邊上的Q點，再直接回到A點，其中要求∠PAQ=45°，設∠PAB=θ，tanθ=t．
（1）用t表示路徑AQ的長度；
（2）將△APQ的面積表示為t的函數f（t），并注明其定義域；
（3）欲使△APQ的面積最小，應如何確定點P的位置．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，結合直角三角形，直接用t表示出DQ的長度，利用勾股定理求AQ的長度．
（2）利用S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，求出函數f（t），并求函數的定義域．
（3）利用（2）求出的面積S，利用基本不等式求出面積的最小值，并確定P的位置．

解答：解：（1）因為tanθ=t，則0≤t≤1，又tanθ=

BP

AB

=BP=t，所以BP=t，CP=1-t．
因為∠PAQ=45°，∠PAB=θ，所以∠DAQ=90°-45°-θ=45°-θ，
因為tan∠DAQ=DQ，所以DQ=tan∠DAQ=tan（45°-θ）=

1-t

1+t

，
所以AQ=

AD2+DQ2

=

1+( 1-t 1+t )2

=

2(1+t2)

1+t

．
（2）△APQ的面積表示為t的函數f（t）=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ，
因為CQ=1-DQ，所以CQ=1-

1-t

1+t

=

2t

1+t

所以f（t）=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ=1-(

1

2

?

1-t

1+t

+

1

2

(1-t)?

2t

1+t

+

1

2

?t)=1+

1

2

?

t2-2t-1

1+t

，（0≤t≤1）．
（3）因為f（t）=1+

1

2

?

t2-2t-1

1+t

=1+

1

2

?

(t+1)2-4(t+1)+2

1+t

=1+

1

2

[(t+1)+

2

1+t

-4]，
所以由基本不等式得f（t）=1+

1

2

[(t+1)+

2

1+t

-4]≥1+

1

2

[2

(t+1)? 2 1+t

-4]=1+

1

2

(2

2

-4)=1+

2

-2=

2

-1，
當且僅當t+1=

2

1+t

，即（t+1）²=2，t=

2

-1時取等號．
此時P滿足BP=

2

-1．

點評：本題主要考查與函數有關的應用題，綜合考查的勾股定理，三角函數的定義和三角關系，以及基本不等式基本應用，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．