Question

 (滿分14分) 如圖，已知橢圓:的離心率為，左、右焦點分別為和，橢圓與軸的兩交點分別為A、B，點P是橢圓上一點（不與點A、B重合），且∠APB=，∠F₁PF₂.

（1）若，三角形F₁PF₂的面積

      為，求橢圓的方程；

（2）當點在橢圓上運動時，試證明

      是定值.

Answer 1

(滿分14分) 解：（Ⅰ）由于三角形F₁PF₂為直角三角形，

則，

即，            

三角形F₁PF₂的面積為，

∴ ，即，            

，即，

∴.                                              --------3分

橢圓C的離心率為，則，即，

∴.

∴橢圓的方程為．                            --------6分

（Ⅱ）不妨設點在第一象限，則在三角形中，

，

，

即，

∴.

.  

，

∴，即.                         --------9分 

作軸，垂足為. 

，，  

∴.

，  

∴---------------------------------------14分