Question

15．已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），且滿足f（xy）=f（x）+f（y），當x＞1時，有f（x）＞0．
（1）求f（1），判定并證明f（x）的單調性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（-x）+f（3-x）≥-2．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法進行求f（1）的值； 根據函數的單調性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明．
（2）根據函數單調性的性質解不等式即可．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
f（x）在（0，+∞）上的是增函數，
設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₂•$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的是增函數．
（2）∵f（2）=1，∴f（-x）+f（3-x）≥-2，可化為f（-x）+f（3-x）≥-2f（2）．
∴f（-x）+f（2）+f（3-x）+f（2）≥0，
∴f（-2x）+f（6-2x）≥f（1），
∴f[-2x（6-2x）]≥f（1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x＞0}\\{3-x＞0}\\{-2x（6-2x）≥1}\end{array}\right.$，
∴x≤$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$．
∴不等式的解集為{x|x≤$\frac{3-\sqrt{10}}{2}$}．

點評 本題主要考查函數單調性的定義和性質，以及抽象函數的求值，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法，利用函數的單調性的定義和單調性的應用是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．