Question

（12分）已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值； 

（Ⅱ）設(shè)，證明：對(duì)任意，.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；

（Ⅱ）證明略。

【解析】(Ⅰ) f(x)的定義域?yàn)?0,+)，.  … 1分

當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；              … … 2分

當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；             … … 3分

當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，令＝0,解得x=.當(dāng)x∈(0, )時(shí), ＞0；

x∈(，+)時(shí)，＜0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.                        … 5分

當(dāng)－1＜a＜0時(shí) 有最大值，解得… 6分

(Ⅱ)不妨假設(shè)x₁≥x₂.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.

所以等價(jià)于≥4x₁－4x₂,       … … 8分

即f(x₂)+ 4x₂≥f(x₁)+ 4x₁. 令g(x)=f(x)+4x,則   

+4＝.          … … 10分

于是≤＝≤0.            … … 11分

從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x₁) ≤g(x₂)，

即f(x₁)+ 4x₁≤f(x₂)+ 4x₂，故對(duì)任意x₁,x₂∈(0,+) ，.… 12分