Question

設(shè)x₁，x₂分別是函數(shù)f（x）=﹣2x³+3（1﹣2a）x²+12ax﹣1的極小值點和極大值點．已知=x₂，求a的值及函數(shù)的極值．

Answer 1

解：求導(dǎo)函數(shù)可得：f'（x）=﹣6x²+6（1﹣2a）x+12a，
∵x₁，x₂分別是函數(shù)的極小值點和極大值點
∴x₁+x₂=2a﹣1，x₁x₂=﹣2a
∵=x₂，
∴
∴
∴x₁=﹣1，
∴x₂=1，a=
∴f（x）=﹣2x³+6x﹣1，f'（x）=﹣6（x+1）（x﹣1），
令f'（x）＞0可得﹣1＜x＜1，
令f'（x）＜0可得x＜﹣1或x＞1，
∴函數(shù)在（﹣1，1）上單調(diào)增，在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單調(diào)減
∴當(dāng)x=﹣1時，函數(shù)取得極小值f（﹣1）=2﹣6﹣1=﹣5；
當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極大值f（1）=﹣2+6﹣1=3．