Question

如圖，幾何體為正四棱錐，幾何體為正四面體.、
（1）求證：；
（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

解法一:取的中點，連結，由幾何體為正四面體得，，所以平面，從而.
連結交于點,連結得平面,
，所以平面，從而.又
所以平面，從而.
解法二: 因為幾何體為正四棱錐，幾何體為正四面體.

故可設
取的中點，連結，由題意知
故是二面角的平面角， 是二面角的平面角,
在中，，
所以，
在中，，
所以 
從而，從而四點共面，
故四邊形為菱形，從而
（2）由解法二知四邊形為菱形，于是，∥，
所以點到平面的距離等于點到平面的距離，
設點到平面的距離為，由得：
進而得，所以與平面所成角的正弦值
解法三：如圖，以OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系。
不妨設|OB|=1，則B(1,0,0)，C(0,1,0)， D(-1,0,0)，A(0,-1,0)

因為為正四面體，所以為正三角形，所以，所以，因此P(0,0,1)。
設的重心為M，則面PCB，又也為正三棱錐，因此面PCB，因此O、M、Q三點共線，所以OQ垂直面PCB，即是平面PCB的一個法向量，
由，易得平面PCB的一個法向量可以取，所以不妨設Q(a,a,a)，則，因為解得a=1，所以Q(1,1,1)。
（1），，，所以；
（2）設面PAD的一個法向量為，，，由
解得一個法向量，
所以，所以QD與平面PAD所成角的正弦值為。

略