Question

P、Q是拋物線C：y=x²上兩動點，直線l₁，l₂分別是C在點P、點Q處的切線，l₁∩l₂=M，l₁⊥l₂．
（1）求證：點M的縱坐標為定值，且直線PQ經過一定點；
（2）求△PQM面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，從而得出切線的方程，結合l₁⊥l₂得點M的縱坐標為定值，且直線PQ經過一定點；
（2）令x₁+x₂=k，由（1）知點M坐標，直線PQ方程，利用點到直線距離S_△PQM的面積，最后利用基本不等式求出面積的最小值即可．
解答：解：（1）設P（x₁，x₁²），Q（x₂，．x₂²），
又y'=2x
則l₁方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁²①l₂方程為y=2x₂x-x₂²②
由①②解得（3分）
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即
所以，（5分）
PQ方程為y-x₁²=（x₁+x₂）（x-x₁）
即y=（x₁+x₂）x-x₁x₂
即
由此得直線PQ一定經過點（8分）
（2）令x₁+x₂=k，
則由（1）知點M坐標
直線PQ方程為（10分）
∴點M到直線PQ距離=．（12分）
∴，
當k=0時“=”成立，
∴S_△PQM最小值為．（15分）
點評：直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能．