Question

從以下兩個小題中選做一題（只能做其中一個，做兩個按得分最低的記分）．
（1）自極點O向直線l作垂線，垂足是H（），則直線l的極坐標方程為________．
（2）如圖，⊙O和⊙O'都經過A、B兩點，AC是⊙O'的切線，交⊙O于點C，AD是⊙O的切線，交⊙O'于點D，若BC=2，BD=6，則AB的長為________．

Answer 1

（1）解：如圖，
極點O向直線l作垂線，垂足是H，
設直線l上任一點的極坐標為（ρ，θ），
在直角三角形OHM中，∠HOM=ρ-，
OH=OMcos∠HOM，
∴ρcos（θ-）=2
或展開得：ρcosθ+3ρsinθ-4=0．
故答案為：ρcos（θ-）=2或 ρcosθ+3ρsinθ-4=0．
（2）解：因為AC是圓O′的切線，
∴∠CAB=∠D，
∵AD是圓O的切線，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABC∽△DBA，
∴=，又BC=2，BD=6，
則AB的長為2
故答案為：2．
分析：（1）此題可直接在極坐標系中求出直線l的極坐標方程．設直線l上任一點的極坐標為（ρ，θ），再結合直角三角形的邊角關系即可求得ρ與θ的關系式即為所求直線l的極坐標方程．
（2）由AC是圓O'的切線，AD是圓O的切線，利用圓的弦切角等于所夾弧所對的圓周角，得到三角形ABC與三角形ABD相似，由相似得到三角形的對應邊成比例得到一個關系式，把BC和AB的值代入關系式即可求出BD的值．
點評：（1）本題考查簡單曲線的極坐標方程，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．
（2）此題考查學生靈活運用弦切角定理以及三角形相似對應邊成比例化簡求值，是一道中檔題．