Question

已知向量

m

=(sinx，

3

)，

n

=(1，cosx)，若函數f(x)=

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期及最小值
（2）當x∈[-

π

3

，

2π

3

]時，求f（x）的減區間．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量數量積的坐標運算公式，結合輔助角公式化簡可得f（x）=2sin(x+

π

3

)，再由正弦函數的圖象與性質，即可得到求f（x）的最小正周期及最小值．
（2）根據題意，當x∈[-

π

3

，

2π

3

]時，在x=

π

6

處函數有最大值為2，再結合函數的周期為2π，即可得到f（x）的減區間為[

π

6

，

2π

3

]．

解答：解：∵向量

m

=(sinx，

3

)，

n

=(1，cosx)，
∴

m

•

n

=sinx•1+

3

•cosx
可得：f(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)
∴f（x）的最小正周期是T=2π，最小值是-2
（2）∵x∈[-

π

3

，

2π

3

]，可得x+

π

3

∈[0，π]，
∴在x=

π

6

處函數有最大值f（

π

6

）=2，因此當

π

2

≤x+

π

3

≤π時，
即

π

6

≤x≤

2π

3

時，f（x）為減函數，
由此可得，f（x）的減區間為[

π

6

，

2π

3

]．

點評：本題以向量的數量積運算為載體，著重考查了三角恒等變換、三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．