【題目】函數 (
為實數).
(1)若,求證:函數
在
上是增函數;
(2)求函數在
上的最小值及相應的
的值;
(3)若存在,使得
成立,求實數
的取值范圍.
【答案】(1)函數在
上是增函數;(2)見解析;(3)
.
【解析】試題分析:(1)當時,
在(0,+∞)上恒成立,故函數在(1,+∞)上是增函數;
(2)求導) ,當x∈[1,e]時,
.分①
,②
,③
,三種情況得到函數f(x)在[1,e]上是單調性,進而得到[f(x)]min;
(3)由題意可化簡得到,令
,利用導數判斷其單調性求出最小值為
.
試題解析:
(1)當時,
,其定義域為
,
,
當時,
恒成立,
故函數在
上是增函數.
(2) ,
當時,
,
①若,
在
上有
(僅當
,
時,
),
故函數在
上是增函數,此時
;
②若,由
,得
,
當時,有
,此時
在區間
上是減函數;
當時,有
,此時,
在區間
上是增函數,
故;
③若,
在
上有
(僅當
,
時,
),
故函數在
上是減函數,此時
綜上可知,當時,
的最小值為1,相應的
的值為1;
當時,
的最小值為
,相應的
值為
;
當時,
的最小值為
,相應的
的值為
.
(3)不等式可化為
,
因為,所以
,且等號不能同時取,
所以,即
,
所以,
令,
則,
當時,
,
,
從而 (僅當
時取等號),
所以在
上為增函數,所以
的最小值為
,
所以實數的取值范圍為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某品牌手機銷售商今年1,2,3月份的銷售量分別是1萬部,1.2萬部,1.3萬部,為估計以后每個月的銷售量,以這三個月的銷售為依據,用一個函數模擬該品牌手機的銷售量y(單位:萬部)與月份x之間的關系,現從二次函數 或函數
中選用一個效果好的函數行模擬,如果4月份的銷售量為1.37萬件,則5月份的銷售量為__________萬件.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設某校新、老校區之間開車單程所需時間為,
只與道路暢通狀況有關,對其容量為
的樣本進行統計,結果如圖:
| 25 | 30 | 35 | 40 |
頻數(次) | 20 | 30 | 40 | 10 |
(1)求的分布列與數學期望
;
(2)劉教授駕車從老校區出發,前往新校區做一個50分鐘的講座,結束后立即返回老校區,求劉教授從離開老校區到返回老校區共用時間不超過120分鐘的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知直線與橢圓
相交于
兩點,與
軸,
軸分別相交于點
和點
,且
,點
是點
關于
軸的對稱點,
的延長線交橢圓于點
,過點
分別做
軸的垂線,垂足分別為
.
(1) 若橢圓的左、右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點,點
在橢圓
上,求橢圓
的方程;
(2)當時,若點
平分線段
,求橢圓
的離心率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,我海監船在島海域例行維權巡航,某時刻航行至
處,此時測得其東北方向與它相距
海里的
處有一外國船只,且
島位于海監船正東
海里處.
(1)求此時該外國船只與島的距離;
(2)觀測中發現,此外國船只正以每小時海里的速度沿正南方向航行,為了將該船攔截在離
島
海里處,不讓其進入
島
海里內的海域,試確定海監船的航向,并求其速度的最小值.(參考數據:
,
)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設命題是
的必要而不充分條件;
設命題實數
滿足方程
表示雙曲線.
(1)若“”為真命題,求實數
的取值范圍;
(2)若“”為假命題,“
”為真命題,求實數
的取值范圍.
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