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【題目】函數 (為實數).

(1)若,求證:函數上是增函數;

(2)求函數上的最小值及相應的的值;

(3)若存在,使得成立,求實數的取值范圍.

【答案】(1)函數上是增函數;(2)見解析;(3).

【解析】試題分析:(1)當時, 在(0,+∞)上恒成立,故函數在(1,+∞)上是增函數;

(2)求導) ,當x∈[1,e]時, .分①,②,③,三種情況得到函數f(x)在[1,e]上是單調性,進而得到[f(x)]min

(3)由題意可化簡得到,利用導數判斷其單調性求出最小值為

試題解析:

(1)當時, ,其定義域為

時, 恒成立,

故函數上是增函數.

(2)

時,

①若 上有 (僅當 時, ),

故函數上是增函數,此時

②若,由,得

時,有,此時在區間上是減函數;

時,有,此時, 在區間上是增函數,

③若 上有 (僅當 時, ),

故函數上是減函數,此時

綜上可知,當時, 的最小值為1,相應的的值為1;

時, 的最小值為,相應的值為

時, 的最小值為,相應的的值為.

(3)不等式可化為

因為,所以,且等號不能同時取,

所以,即

所以

時,

從而 (僅當時取等號),

所以上為增函數,所以的最小值為

所以實數的取值范圍為.

練習冊系列答案
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