Question

已知兩定點F₁（-1，0），F₂（1，0），且

1

2

|F1F2|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，則動點P的軌跡是（　　）

A．橢圓

B．雙曲線

C．拋物線

D．線段

Answer 1

分析：根據題意，可得|PF₁|+|PF₂|=|F₁F₂|，由平面幾何“兩點之間，線段最短”可得動點P的軌跡是線段F₁F₂．由此得到本題答案．

解答：解：∵

1

2

|F1F2|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項，
∴|PF₁|+|PF₂|=|F₁F₂|，
∵當P不在直線F₁F₂上時，根據三角形兩邊之和大于第三邊，可得|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|
當P在直線F₁F₂上，且不在點F₁、F₂之間時，可得|PF₁|＞|F₁F₂|或|PF₂|＞|F₁F₂|，也不能有|PF₁|+|PF₂|=|F₁F₂|成立，
∴點P在直線F₁F₂上，且點P在點F₁、F₂之間
由此可得：動點P的軌跡是線段F₁F₂
故選：D

點評：本題給出動點P到兩個定點F₁、F₂的距離之和等于F₁F₂的長，求動點P的軌跡．著重考查了等差中項的含義和動點軌跡求法等知識，屬于中檔題．