Question

甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米/時,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比,比例系數為b;固定部分為a元.

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數,并指出這個函數的定義域;

(2)為了使全程運輸成本最小,汽車應以多大速度行駛?

Answer 1

解：(1)依題意,汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間為,全程運輸成本為y=a·+bv²·=s(+bv),

故所求函數及其定義域為y=s(+bv),v∈(0,c］.

(2)依題意,知s、a、b、v都為正數,

故有s(+bv)≥,當且僅當=bv,

即v=時,上式中等號成立.

若≤c,則當v=時,全程運輸成本y最小;

若＞c,當v∈(0,c］時,有s(+bv)-s(+bc)=s·［a()+b(v-c)］=(c-v)(a-bcv).

因為c-v≥0,且a＞bc²,故a-bcv＞a-bc²＞0.

所以s(+bv)≥s(+bc),當且僅當v=c時等號成立,也即v=c時,全程運輸成本y最小.

綜上知,為使全程運輸成本y最小,當≤c時,行駛速度應為v=;當＞c時,行駛速度應為v=c.