Question

如圖，在三棱柱中，側面，均為正方形，∠,點是棱的中點.

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）由側面，均為正方形可證明三棱柱是直三棱柱. 又點是棱的中點可證明.從而通過線面垂直的判定定理可證⊥平面；（Ⅱ）連結，交于點，連結，通過三角形中位線的知識證明線線平行，從而由線面平行的判定定理得到平面；(Ⅲ)根據題中相關垂直條件構建空間直角坐標系.再找平面的法向量及平面的法向量，計算法向量的夾角，通過比較得到二面角的平面角，從而得到所求.
試題解析：（Ⅰ）證明：因為側面，均為正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　     1分
因為平面，所以，　　 2分
又因為，為中點，
所以.                 3分
因為,
所以平面.          4分
（Ⅱ）證明：連結，交于點，連結，
因為為正方形，所以為中點，
又為中點，所以為中位線，
所以，             6分
因為平面，平面，
所以平面.        8分

(Ⅲ)解： 因為側面，均為正方形， ，
所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系.
設，則.
，            9分
設平面的法向量為，則有
取，得.                                   10分
又因為平面，所以平面的法向量為，
設二面角的平面角為，則
∴           11分
所以，二面角的余弦值為.            12分