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8.已知拋物線y2=4x的焦點F與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1( a>b>0)的一個焦點重合,它們在第一象限內的交點為P,且PF與x軸垂直,則橢圓的離心率為$\sqrt{2}$-1.

分析 由拋物線的方程算出拋物線的焦點為F(1,0),由TF⊥x軸算出點P坐標為(1,2),得到橢圓的半焦距c=1且點P(1,2)在橢圓上,由此建立關于a、b的方程組解出a=$\sqrt{2}$+1,由橢圓的離心率加以計算,可得答案.

解答 解:∵拋物線的方程為y2=4x,∴拋物線的焦點為F(1,0),
又∵拋物線與橢圓在第一象限內的交點為T,且TF⊥x軸,
∴設P(1,y0),代入拋物線方程得y02=4×1=4,得y0=2(舍負).
因此點P(1,2)在橢圓上,橢圓的半焦距c=1,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\end{array}\right.$,解之得a2=3+2$\sqrt{2}$,b2=2+2$\sqrt{2}$,
由此可得a=$\sqrt{2}$+1,橢圓的離心率e=$\sqrt{2}$-1.
故答案為$\sqrt{2}$-1.

點評 本題給出拋物線的焦點F是橢圓的右焦點,它們在第一象限的交點在x軸上的射影恰好為點F,求橢圓的離心率.著重考查了橢圓、拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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