Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域D內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（Ⅰ）函數(shù)f(x)=

1

x

是否屬于集合M？說明理由：
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=kx+b屬于集合M，試求實數(shù)k和b滿足的約束條件．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=

1

x

是否屬于集合M，由已知，即為方程

1

x0+1

=

1

x0

+1是否有解．
（Ⅱ）f（x）=kx+b∈M，既是說存在實數(shù)x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b成立，以此求解k，b滿足的約束條件

解答：解：（Ⅰ）D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f(x)=

1

x

∈M，則存在非零實數(shù)x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即

x

2 0

+x0+1=0
此方程無實數(shù)解，所以函數(shù)f(x)=

1

x

∉M
（Ⅱ）D=R，由f（x）=kx+b∈M，存在實數(shù)x₀，使得k（x₀+1）+b=kx₀+b+k+b，解得b=0
所以，實數(shù)k和b的取值范圍是k∈R，b=0

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，方程思想．考查閱讀、分析、轉(zhuǎn)化能力．