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已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,兩條準線間的距離為1,F1,F2是雙曲線的左、右焦點.
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)直線l過坐標原點O且和雙曲線交于兩點M,N,點P為雙曲線上異于M,N的一點,且直線PM,PN的斜率均存在,求kPM•kPN的值.
【答案】分析:(Ⅰ)依題意,雙曲線焦點在x軸上,且其一條漸近線方程為,兩條準線間的距離為1,可得方程組:
解得a2=1,b2=3,代入可得答案;
(Ⅱ)設M(x,y),由雙曲線的對稱性,可得N的坐標,設P(xP,yP),結合題意,又由M在雙曲線上,可得,將其坐標代入kPM•kPN中,計算可得答案.
解答:解:(Ⅰ)依題意,雙曲線焦點在x軸上,
有:
解得a2=1,b2=3.
∴雙曲線方程為
(Ⅱ)設M(x,y),由雙曲線的對稱性,可得N(-x,-y).
設P(xP,yP),


∴y2=3x2-3.
同理yP2=3xP2-3,

點評:本題考查雙曲線與直線相交的性質,此類題目一般計算量較大,注意計算的準確性,其次要盡可能的簡化運算,以降低運算量.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,右準線與一條漸近線交于點A,△OAF的面積為(O為原點),則兩條漸近線的夾角為(    )

A.30°             B.45°              C.60°               D.90°

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已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上,則雙曲線的方程為(  )

(A) -=1 (B) -=1

(C) -=1 (D) -=1

 

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已知雙曲線a>0,b>0)的左右焦點分別為F1 F2 ,P 是雙曲線上的一點,且P F1⊥P F2, 的面積為2 ab,則雙曲線的離心率 e=________.

 

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已知雙曲線(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為(    )

(A)    (B)     (C) (D)

 

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