Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，長度為定值的線段EF在線段B₁D1上滑動，現有五個命題如下：
①AC⊥BE；
②EF∥平面A₁BD；
③直線AE與BF所成角為定值；
④直線AE與平面BD₁所成角為定值；
⑤三棱錐A-BEF的體積為定值．
其中正確命題序號為

 

．

Answer 1

分析：①如圖1所示，連接BD，由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中可得AC⊥BD，BB₁⊥AC，利用線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDD₁B₁，利用其性質即可得到AC⊥BE；
②如圖圖2所示，利用正方體的對角面的性質可得B₁D₁∥BD，再利用線面的判定定理即可得到EF∥平面A₁BD；
③如圖3所示，建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，|EF|=m，F（a，b，1），
則E(a+

2

2

m，b+

2

2

m，1)．又A（1，0，0），B（1，1，0）．∴

AE

=(a+

2

2

m-1，b+

2

2

m，1)，

BF

=（a-1，b-1，1），利用向量的夾角公式即可判斷出；
④如圖3所示，取對角面BD₁的法向量為

AC

=(-1，1，0)．
設AE與平面BD₁所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=

| AE • n |

| AE | | n |

即可判斷出；
⑤由①可知：AC⊥平面BDD₁B₁，可得點A到平面BEF的距離=

1

2

|AC|，而△BEF的面積=

1

2

|EF| |BB1|，利用三棱錐的體積計算公式可得V_A-BEF=

1

3

×

1

2

|AC| •

1

2

|EF| |BB1|，又|AC|，|EF|，|BB₁|都為定值，因此三棱錐A-BEF的體積為定值．

解答：解：①正確．如圖1所示，連接BD，由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中可得AC⊥BD，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BDD₁B₁，∴AC⊥BE；
②正確．如圖圖2所示，∵B₁D₁∥BD，B₁D₁?平面A₁BD，而BD?平面A₁BD，∴EF∥平面A₁BD；
③不正確．如圖3所示，建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為1，|EF|=m，F（a，b，1），
則E(a+

2

2

m，b+

2

2

m，1)．又A（1，0，0），B（1，1，0）．
∴

AE

=(a+

2

2

m-1，b+

2

2

m，1)，

BF

=（a-1，b-1，1），
∴cos＜

AE

，

BF

＞=

AE • BF

| AE | | BF |

=

(a+ 2 2 m-1)(a-1)+(b+ 2 2 m)(b-1)+1

(a+ 2 2 m-1)2+(b+ 2 2 m)2+1 (a-1)2+(b-1)2+1

，與a，b的取值有關系．
④如圖3所示，取對角面BD₁的法向量為

AC

=(-1，1，0)．
設AE與平面BD₁所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=

| AE • n |

| AE | | n |

=

|1-a- 2 2 m+b+ 2 2 m|

(a+ 2 2 m-1)2+(b+ 2 2 m)2+1 • 2

與a，b的取值有關系；
⑤正確．由①可知：AC⊥平面BDD₁B₁，∴點A到平面BEF的距離=

1

2

|AC|，而△BEF的面積=

1

2

|EF| |BB1|，∴V_A-BEF=

1

3

×

1

2

|AC| •

1

2

|EF| |BB1|，又|AC|，|EF|，|BB₁|都為定值，因此三棱錐A-BEF的體積為定值．
綜上可知：正確答案為①②⑤．
故答案為①②⑤．

點評：熟練掌握空間點線面的位置關系、空間角、空間距離等是解題的關鍵．