Question

已知點(diǎn)P₁(2，3)、P₂(－4，5)和A(－1，2)，求過(guò)點(diǎn)A且與點(diǎn)P₁、P₂距離相等的直線方程．

Answer 1

y－2＝－(x＋1)或x＝－1.

(解法1)設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由點(diǎn)P₁、P₂到直線的距離相等得.化簡(jiǎn)得，
則有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，
解得k＝－或方程無(wú)解．
方程無(wú)解表明這樣的k不存在，但過(guò)點(diǎn)A，所以直線方程為x＝－1，它與P₁、P₂的距離都是3.
∴所求直線方程為y－2＝－ (x＋1)或x＝－1.
(解法2)設(shè)所求直線為l，由于l過(guò)點(diǎn)A且與P₁、P₂距離相等，所以l有兩種情況，如下圖：

①當(dāng)P₁、P₂在l的同側(cè)時(shí)，有l(wèi)∥P₁P₂，此時(shí)可求得l的方程為y－2＝ (x＋1)，即y－2＝－(x＋1)；
②當(dāng)P₁、P₂在l的異側(cè)時(shí)，l必過(guò)P₁、P₂的中點(diǎn)(－1，4)，此時(shí)l的方程為x＝－1.
∴所求直線的方程為y－2＝－(x＋1)或x＝－1.