Question

函數f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，當x＞0時，．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論函數f（x）的單調性，并求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由奇偶性尋求f（-x）與f（x）的關系，再設x＜0，則-x＞0，按照求函數值求解；
（2）用導數判斷單調性，確定單調區間求得值域．
解答：解：（1）∵f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函數，
∴f（-x）=f（x）（1分）
設x＜0，則-x＞0，f（-x）=
∴（3分）
∴（4分）
（2）當x＞0時，，（6分）
令f'（x）=0⇒x=2
∴當x∈（0，2）時，f'（x）＜0，f（x）是減函數，
x∈（2，+∞）時，f'（0）＞0，f（x）是增函數，（8分）
且函數f（x）在此區間上有極小值y_極小=f（2）=5
又f（x）是偶函數，其圖象關于y軸對稱
∴x＜0時，f（x）的增區間為（-2，0），減區間為（-∞，-2）（10分）
綜上所述，f（x）在區間（-∞，-2）和（0，2）上是減函數
在區間（-2，0）和（2，+∞）上是增函數，值域為f（x）∈[5，+∞）（12分）
點評：本題主要考查奇偶性求對稱區間上的解析式和求值域或最值時要先研究函數的單調性的解題習慣．