Question

在數列{a_n}中，已知，，當n≥2且n∈N^*時，有．
（1）若b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求證：對任意n∈N^*，都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意在數列{a_n}中，已知，，根據等比數列的性質，證明等于一個常數即可；
（2）數列{b_n}是等比數列，，可得對a_n進行拆分，可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，然后進行求和，再進行證明；
解答：解：（1）當n=1時，有…（1分）
當n≥2時，有=
故數列{b_n}是等比數列，其首項為，公比為…（5分）
（2）由（1）知即…（6分）
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=…（10分）
當n∈N^*時，有，故，
故，即…（13分）
點評：此題主要考查等比數列的性質，是一道中檔題，第二問對a_n進行拆分求和，考查的知識點比較全面；